fevereiro 19, 2021

TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI. E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA , ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ DINÂMICAS, ⇔  Δ VALÊNCIAS, ⇔  Δ BANDAS,  Δ entropia e de entalpia,  E OUTROS.

x
$\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)$ [EQUAÇÃO DE DIRAC].

$\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})$ + FUNÇÃO TÉRMICA.

$N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}$ + FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

$T=e^{-2bL}$ , $b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}$

$\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}$ + ENTROPIA REVERSÍVEL

+   $\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}$ FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

$E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx$ ENERGIA DE PLANCK

X

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
ΤDCG
X
Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..

DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
x
sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].
x
número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia
[comprimento de onda (λ).
$\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$
onde c, velocidade da luz, é igual a $f\lambda$ .]
X
TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
X
CATEGORIAS DE GRACELI
T l   T l    E l      Fl        dfG l
N l   El             tf l
P l   Ml           tfefel
Ta l   Rl
         Ll * D

X
$\left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle {\bigg )},$ [ESTADO QUÂNTICO].

Em Mecânica clássica e mecânica quântica, a Fase geométrica, fase de Pancharatnam-Berry (em homenagem a S. Pancharatnam e Sir Michael Berry), fase de Pancharatnam ou mais comumente fase Berry, é uma diferença de fase adquirida ao longo de um ciclo, quando o sistema é submetido a um processo adiabático cíclico, que resulta das propriedades geométricas do espaço parâmetro do [[Hamiltoniano (mecânica quântica) | Hamiltoniano]. ^[1] O fenômeno foi descoberto pela primeira vez em 1956, ^[2] e redescoberto em 1984. ^[3] Ele pode ser visto no efeito Aharonov-Bohm e intersecção cônica de superfície de energia potencial. No caso de o efeito Aharonov-Bohm, o parâmetro adiabático é o campo magnético envolto por dois caminhos de interferência, e é cíclico no sentido que estes dois caminhos formar um loop. No caso de a intersecção cônica, os parâmetros adiabáticos são as coordenadas moleculares. Além da mecânica quântica, este fenômeno surge em uma variedade de outros sistemas ondulatórios, tais como óptica clássica. Em geral, pode ocorrer sempre que existam, pelo menos, dois parâmetros que caracterizam uma onda na proximidade de algum tipo de singularidade ou buraco na topologia; dois parâmetros são necessários porque ou o conjunto de estados não singulares não será simplesmente conexo, ou terá holonomia não-trivial.
As ondas são caracterizadas por uma amplitude e uma fase, e ambas podem variar como uma função dos parâmetros da Hamiltoniana. A fase geométrica ocorre quando ambos os parâmetros são alterados simultaneamente, mas muito devagar (adiabaticamente), e ao final, são trazidos de volta à configuração inicial . Em mecânica quântica, isso poderia envolver rotações mas também translações das partículas, mas que são desfeitas no final. Seria de esperar que as ondas no sistema voltem ao estado inicial, caracterizado pela amplitude e fase. No entanto, se a mudança no espaço de parâmetros correspondem a um loop não trivial, ou seja, que não pode ser continuamente deformado na identidade, é possível que os estados iniciais e finais difiram por uma fase. Esta diferença é a fase geométrica e sua ocorrência geralmente indica que a dependência dos parâmetros por parte sistema é singular.
Para medir a fase geométrica em um sistema ondulatório, um experimento de interferência é necessário. O pêndulo de Foucault é um exemplo de mecânica clássica que, às vezes, é usado para ilustrar a fase geométrica . Este análogo mecânica da fase geométrica é conhecida como a ângulo de Hannay .

Índice

Fase Berry na mecânica quântica

Em um sistema quântico no n-ésimo auto-estado, uma evolução adiabática do Hamiltoniano muda o sistema de tal forma que ele permanece no n-ésimo auto-estado do Hamiltoniano, ao mesmo tempo, obtém um fator de fase. Esta tem uma contribuição da evolução temporal do estado e outro da variação do auto-estado do Hamiltoniano que varia no tempo. O segundo termo corresponde à fase de Berry e, para variações não cíclicas do Hamiltoniano, pode ser ignorada por uma escolha diferente da fase associados com as auto-estados do Hamiltoniano em cada ponto na evolução.
No entanto, se a variação for cíclica, a fase Berry não pode ser cancelada e torna-se uma propriedade observável do sistema. A partir da equação de Schrödinger a fase de Berry $\gamma$ pode ser calculada por:^{[necessário esclarecer]}
$\gamma [C]=i\oint _{C}\!\langle n,t|\left(\nabla _{R}|n,t\rangle \right)\,dr\,$
$x$

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onde $R$ parametriza o processo adiabático cíclico. O sistema segue um caminho fechado $C$ no espaço de parâmetros. Uma revisão recente sobre os efeitos de fase geométricas em propriedades eletrônicas foi dada por Xiao, Chang e Niu. ^[4] A fase geométrica ao longo do caminho fechado $C$ também pode ser calculada integrando a curvatura de Berry sobre a superfície delimitada por $C$ .

Exemplos de fases geométricas

O pêndulo de Foucault

Um dos exemplos mais fáceis é o pêndulo de Foucault. Uma explicação fácil em termos de fases geométricas é dada por von Bergmann e von Bergmann: ^[5]
Como o pêndulo precessa quando se move ao longo de um caminho C geral? Para o transporte ao longo do equador, o pêndulo não precessa. [...] Agora, se C é composta de segmentos de geodésicas, a precessão virá toda dos ângulos onde os segmentos das geodésicas se encontram; a precessão total é igual ao défict de ângulo líquido, que por sua vez, é igual ao ângulo sólido envolto por C módulo 2π. Finalmente, podemos aproximar qualquer ciclo por uma sequência de segmentos geodésicas, de modo que o resultado mais geral (dentro ou fora da superfície da esfera) é que a precessão líquido é igual ao ângulo sólido envolto.
Em outras palavras, não há forças de inércia que podem fazem o pêndulo precessionar, de modo que a precessão (em relação à direção de movimento do caminho ao longo do qual o pêndulo se move) é inteiramente devido à rotação deste caminho. Assim a orientação do pêndulo sofre um transporte paralelo. Para o pêndulo de Foucault original, o caminho é um círculo de latitude, e pelo teorema de Gauss-Bonnet, a diferença de fase é dada pelo ângulo sólido envolto.

Luz polarizada em uma fibra óptica

Um segundo exemplo é a luz linearmente polarizada que entra uma fibra óptica de um modo. Suponhamos que a fibra esteja ao longo de algum caminho no espaço e a luz sai da fibra no mesmo sentido que a sua entrada. Em seguida, comparam-se as polarizações inicial e final. Na aproximação semiclássica a fibras funciona como um guia de onda e o momento da luz é sempre tangente à fibra. A polarização pode ser pensada como uma orientação perpendicular ao momento. Ao logo do percurso da fibra, o vetor momento da luz percorre um caminho numa esfera no espaço de momentos. Esse caminho é fechado já que as direções inicial e final da luz coincidem, e a polarização é um vetor tangente à esfera. Indo para o espaço de momento, isso é equivalente a tomar o mapa de Gauss. Não há forças que poderiam fazer polarização girar, apenas a restrição de permanecer tangente à esfera. Assim, a polarização sofre um transporte paralelo e o desvio de fase é dado pelo o ângulo sólido (vezes o spin, que no caso de luz é 1).

Fase geométrica definida em atratores

Embora a formulação de Berry estava originalmente definida para sistemas lineares, Ning e Haken ^[6] logo perceberam que uma fase geométrica semelhante pode ser definida para sistemas completamente diferentes, tais como sistemas dissipativos não-lineares que possuem determinados atratores cíclicos. Eles mostraram que esses atratores cíclicos existem em uma classe de sistemas não-lineares dissipativas com certas simetrias.^[7]

Exposição em interseções de superfícies de potencial adiabático molecular

Existem muitas formas de computar a fase geométrica em moléculas no paradigma de Born-Oppenheimer. Um jeito é através da “matriz $M\times M$ de acoplamento não adiabático”, definida por $\tau _{ij}^{\mu }=\left\langle \psi _{i}|\partial ^{\mu }\psi _{j}\right\rangle$
onde $\psi _{i}$ é a função eletrônica adiabática, dependente dos parâmetros nucleares $R_{\mu }$ . O acoplamento não-adiabático pode ser usado para definir uma integral de loop, análoga ao loop de Wilson (1974) da teoria de campos, desenvolvida independentemente para o caso molecular por M. Baer (1975, 1980, 2000). Dado um loop fechado $\Gamma$ , parameterizado por $R_{\mu }\left(t\right)$ onde $t\in \left[0,1\right]$ é um parâmetro e $R_{\mu }\left(t+1\right)=R_{\mu }\left(t\right)$ .
x

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A matriz D é dada por:
$D\left[\Gamma \right]={\hat {P}}e^{\oint _{\Gamma }{\tau ^{\mu }dR_{\mu }}}$
$x$

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(aqui, ${\hat {P}}$ é o símbolo de ordenamento de caminho). Pode ser provado que, uma vez que $M$ é suficientemente grande, ou seja, um número grande de estados eletrônicos é considerado, essa matriz é diagonal, com elementos dados por $e^{i\beta _{j}}$ , onde $\beta _{j}$ são as fases geométricas associadas com o loop para o estado adiabático eletrônico $j$ .
Para Hamiltonianos com simetria de reversão temporal, a fase geométrica reflete o número de interseções cônicas envoltas pelo loop. Mais precisamente:
$e^{i\beta _{j}}=\left(-1\right)^{N_{j}}$
$x$

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onde $N_{j}$ é o número de interseções cônicas envolvendo o estado adiabático $\psi _{j}$ envoltas pelo loop $\Gamma$ .
Uma alternativa para a abordagem da matriz D seria um cálculo direto da fase Pancharatnam. Isso é especialmente útil se apenas a fase geométrica de um único estado adiabático é de interesse. Nessa abordagem, deve-se tomar um número $N+1$ de pontos $\left(n=0,...,N\right)$ ao longo do loop $R\left(t_{n}\right)$ com $t_{0}=0$ e $t_{N}=1$ , e então usar apenas o j-ésimo estado adiabático $\psi _{j}\left[R\left(t_{n}\right)\right]$ computa o produto de Pancharatnam dos “overlaps”:
$I_{j}\left(\Gamma ,N\right)=\prod \limits _{n=0}^{N-1}{\left\langle \psi _{j}\left[R\left(t_{n}\right)\right]|\psi _{j}\left[R\left(t_{n+1}\right)\right]\right\rangle }$
$x$

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No limite $N\to \infty$ tem-se (Ver Ryb & Baer 2004 para explicações e aplicações):
$I_{j}\left(\Gamma ,N\right)\to e^{i\beta _{j}}$
$x$

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Fase geométrica e a quantização do movimento cyclotron

Um elétron sujeito a um campo magnético $B$ se move numa órbita circular (cyclotron)^[1]. Classicamente, qualquer raio $R_{c}$ de cyclotron é aceito. Já na mecânica quântica, apenas alguns níveis de energia, chamados de níveis de Landau são permitidos e já que $R_{c}$ está relacionado com a energia do elétron, isso corresponde a valores quantizados de $R_{c}$ . A condição de quantização de energia obtida ao resolver a equação de Schrödinger é, por exemplo, $E=(n+\alpha )\hbar \omega _{c},\alpha =1/2$ para elétrons livres ou $E=v{\sqrt {2(n+\alpha )eB\hbar }},\alpha =0$ para elétrons no grafeno onde $n=0,1,2,\ldots$ .^[2] Apesar da derivação esses resultados não ser difícil, há uma forma alternativa de mostrá-los que dá uma intuição física sobre os níveis de Landau. Essa forma alternativa é baseada na condição semiclássica da condição de quantização de Bohr-Sommerfeld
$\hbar \oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {k} -e\oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} +\hbar \gamma =2\pi \hbar (n+1/2)$
$x$

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que inclui a fase geométrica $\gamma$ adquirida pelo elétron quando ele executa seu movimento no espaço real ao longo do loop fechado da órbita do cyclotron.^[8] Para um elétron livre, $\gamma =0$ enquanto $\gamma =\pi$ para elétrons no grafeno. Acontece que a fase geométrica está diretamente ligada $\alpha =1/2$ do elétron livre e a $\alpha =0$ para o elétron no grafeno.

Efeito magnético no solenoide

O efeito Aharonov–Bohm pode ser visto como um resultado da necessidade da mecânica quântica de ser invariante com respeito à escolha de calibre para o potencial eletromagnético do qual faz parte o vetor potencial magnético A.
A teoria eletromagnética implica que uma partícula com carga elétrica q viajando ao longo de um caminho P em uma região com campo magnético nulo, mas potencial A não-nulo, adquire uma mudança de fase $\varphi$ , dada no Sistema Internacional de Unidades por
$\varphi ={\frac {q}{\hbar }}\int _{P}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {x} ,$
$x$

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Portanto, partículas, com os mesmos pontos de partida e chegada, mas que viajam através de duas rotas diferentes vão adquirir uma fase diferente $\Delta \varphi$ determinada pelo fluxo magnético $\Phi _{B}$ através da área entre os caminhos (pelo teorema de Stokes e $\nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B}$ )
x

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, dado por:
$\Delta \varphi ={\frac {q\Phi _{B}}{\hbar }}.$
$x$

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Esquema do experimento da fenda dupla na qual o efeito Aharonov–Bohm pode ser observado: eléctrons passam através duas fendas, interferindo em uma tela de observação, com os padrões de interferência deslocados quando um campo magnético B é ligado no solenoide cilíndrico.
Na mecânica quântica a mesma partícula pode viajar entre dois pontos por uma variedade de caminhos. Por isso, essa diferença de fase pode ser observada se colocado um solenoide entre as fendas de um experimento de fenda dupla (ou equivalente). Um solenoide ideal (i.e. infinitamente longo e com uma distribuição perfeitamente uniforme) engloba o campo magnético B, mas não produz nenhum campo eletromagnético fora de seu cilindro, e então a partícula (e.g. um elétron) passando por fora não sente nenhum campo magnético B. Entretanto, existe um potencial vetor de rotacional nulo A fora do solenoide com um fluxo englobado. Então a fase relativa das partículas passando através de uma fenda ou de outra é alterada se a corrente do solenoide estiver ligada ou desligada. Isso corresponde à mudança das franjas de interferência no plano de observação.
O mesmo efeito na fase é responsável pela necessidade de quantização do fluxo em circuitos fechados supercondutores. Essa quantização ocorre porque a função de onda supercondutora deve ter valor único em todos os pontos: sua diferença de fase $\Delta \varphi$ em torno de um circuito fechado deve ser um múltiplo inteiro de 2π (com a carga sendo q=2e para o par de elétrons de Cooper), e por isso o fluxo deve ser um múltiplo de h/2e. O quanta de fluxo supercondutor já havia sido previsto anteriormente ao efeito AB, por F. Londo em 1948 usando um modelo fenomenológico.^[16]
A primeira confirmação experimental foi feita por Sadasdasdsad em 1968,^[17]^[18] em um interferômetro de elétrons com um campo magnético produzido por um fio de ferro, e outro trabalho é resumido em Olariu e Papêscu (1984).^[19] Entretanto, autores subsequentes questionaram a validade de vários destes resultados, porque os elétrons podem não ter sido completamente blindados dos campos magnéticos.^[20]^[21] Um experimento no qual um efeito Aharonov–Bohm não-ambíguo foi observado através da completa exclusão do campo magnético do caminho do elétron (com a ajuda de um filme supercondutor) foi feito por Tonomura et al. em 1986.^[22]^[23] O escopo do efeito e suas aplicações continuam a se expandir. Webb et all. (1985)^[24] demonstraram oscilações Aharonov–Bohm em anéis metálicos ordinários, não-supercondutores; para uma discussão, veja Schwarzschild (1986)^[25] e Imry & Webb (1989).^[26] Bachtold et al. (1999)^[27] detectou o efeito em nanotubos de carbono; para uma discussão, veja Kong et al. (2004).^[28]

Efeito elétrico

Assim como a fase da função de onda depende do vetor potencial magnético, ela também depende do potencial escalar elétrico. Construindo uma situação na qual o potencial eletrostático varia entre dois caminhos percorridos por uma partícula, através de regiões com campo elétrico nulo, um fenômeno de interferência Aharonov–Bohm observável devido ao deslocamento de fase foi previsto; mais uma vez, a ausência de um campo elétrico significa que, classicamente, não haveria efeito.
Da equação de Schrödinger, a fase de uma autofunção com energia E vai como $\exp(-iEt/\hbar )$ . A energia, entretanto, vai depender do potencial eletrostático V para uma partícula com carga q. Em particular, para uma região com potencial constante V(campo nulo), a energia potencial elétrica qV é simplesmente adicionada a E, resultando em um deslocamento de fase:
$\Delta \phi =-{\frac {qVt}{\hbar }},$
$x$

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aonde t é o tempo gasto dentro do potencial.
A proposta teórica inicial para esse efeito sugeria um experimento no qual cargas passassem por cilindros condutores através de dois caminhos, que blindariam as partículas de campos elétricos externos na região na qual eles viajam, mas ainda permitem um potencial variável a ser aplicado carregando os cilindros. Isso se mostrou difícil de fazer. Ao invés, um experimento diferente foi proposto envolvendo uma geometria de anel interrompida por barreiras tuneláveis, com uma difrença de potencial V relacionando os potenciais das duas metades do anel. Essa situação resultou em um deslocamento de fase Aharonov–Bohm como o acima, e foi observada experimentalmente em 1998.^[29]

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